第6章 内積
内積を「角度・垂直・射影を数値化する操作」として理解する。
社会でどう使う？
力が進行方向にどれだけ効いているか、CGで光が面にどれだけ当たるか、データ同士がどれだけ似ているか。このような「同じ方向をどれだけ向いているか」を測る考え方に内積がつながります。
1今日の世界の切り替え
内積の定義
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
内積の答えはベクトルではなく数です。角度が90度なら $\cos90^\circ=0$ なので内積は0になります。
成分公式
$$\vec{a}=(a_x,a_y),\ \vec{b}=(b_x,b_y)\quad\Rightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
2角度を動かして内積を見る
青いベクトルを固定し、オレンジのベクトルの角度を動かします。同じ向きなら正、垂直なら0、逆向きに近いと負になります。
3垂直条件と成分計算
頻出ミス
- 内積の答えをベクトルだと思う。内積は数です。
- 垂直条件を「長さが0」と混同する。垂直なら内積が0です。
- $a_xb_x+a_yb_y$ ではなく、成分を別々に割ったり掛け忘れたりする。
4練習問題
練習 1内積の値
$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(4,1)$ のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？
答え：
ヒント
$2\cdot4+3\cdot1$ です。解説
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot4+3\cdot1=8+3=11$ です。
練習 2垂直条件
2つのベクトルが垂直であることを内積で表すと？
ヒント
$\cos90^\circ=0$ です。解説
垂直なら角度が90度なので、$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos90^\circ=0$ です。
練習 3未知数
$(1,2)$ と $(x,3)$ が垂直になるとき、$x$ は？
x：
ヒント
$x+6=0$ になります。解説
内積が0なので $1\cdot x+2\cdot3=0$。よって $x=-6$ です。
練習 4角度
$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=3$、なす角が $60^\circ$ のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？
答え：
ヒント
$2\cdot3\cdot\frac12$ です。解説
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot3\cdot\cos60^\circ=6\cdot\frac12=3$ です。
練習 5仕事で使う文章題
荷物を右向きに5m動かす。力は右向きに8N、上向きに6Nのベクトルでかけた。この移動方向に効く力の成分は何N？
答え：
ヒント
右向きの単位ベクトルとの内積を考えます。解説
移動方向は右向きなので、力 $(8,6)$ の右向き成分は8Nです。内積は「その方向にどれだけ効くか」を測る見方につながります。