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第3章　成分で計算する

矢印を $(x,y)$ に翻訳して、図形を数の計算に変える。

社会でどう使う？

画面上のキャラクターを「右に12px、上に5px」動かす、地図で東西南北の移動を足す、ドローンの変位を記録する。このような場面では、ベクトルを成分で持つと計算しやすくなります。

1今日の世界の切り替え

図形 → ベクトル → 計算

点A$(x_1,y_1)$ から点B$(x_2,y_2)$ への移動は、成分で $\vec{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)$ です。

成分表示
$$\vec{a}=(a_x,a_y),\qquad |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$$

横方向の移動量と縦方向の移動量を並べたものが成分です。

2終点 − 始点で求める

点Aと点Bを動かして、$\vec{AB}$ の成分が「終点B − 始点A」になることを確認しましょう。

3成分計算の型

$$\vec{a}=(2,3),\quad \vec{b}=(-1,4)$$
お題
$2\vec{a}-\vec{b}$ を求める。
STEP 1
$2\vec{a}=2(2,3)=(4,6)$
実数倍は両方の成分に掛ける。
STEP 2
$2\vec{a}-\vec{b}=(4,6)-(-1,4)$
引き算は成分ごとに行う。
STEP 3
$(4-(-1),6-4)=(5,2)$
符号ミスに注意。
頻出ミス
  • $\vec{AB}$ を「A−B」で計算してしまう。正しくは「B−A」。
  • x成分とy成分を入れ替える。
  • マイナスの成分を引くときに符号を落とす。

4練習問題

練習 1成分の意味
ベクトル $(3,-2)$ の意味として正しいものは？
ヒント第1成分は横、第2成分は縦です。
解説

x成分が3なので右へ3、y成分が-2なので下へ2です。

練習 2終点−始点
A$(1,2)$、B$(5,4)$ のとき、$\vec{AB}$ のx成分は？
x成分：
ヒント$5-1$ を計算します。
解説

$\vec{AB}=(5-1,4-2)=(4,2)$ なのでx成分は4です。

練習 3成分計算
$\vec{a}=(2,-1)$、$\vec{b}=(3,4)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ は？
ヒントx同士、y同士を足します。
解説

$(2,-1)+(3,4)=(2+3,-1+4)=(5,3)$ です。

練習 4長さ
$\vec{a}=(6,8)$ の長さは？
答え：
ヒント$6^2+8^2=100$ です。
解説

$|\vec{a}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ です。

練習 5仕事で使う文章題
画面上のボタンを、右に12px、上に5px動かしたい。座標ではyが下向きに増える場合、この移動の成分は？
ヒント画面座標では上向きがyのマイナスになることがあります。
解説

右はxのプラスで12。上は画面座標のyではマイナスなので、成分は $(12,-5)$ です。