第4章 位置ベクトルと内分点
点の場所をベクトルで表し、内分点・中点・重心を式で扱う。
社会でどう使う？
地図上の中継点、倉庫ロボットの待機位置、UI部品の中央配置などでは、2点の間の「どの割合の場所か」を計算します。内分点はその考え方を数学的に表す道具です。
1今日の世界の切り替え
点の場所をベクトルで表す
基準点Oを決めると、点Aの位置は $\vec{OA}$ で表せます。この $\vec{OA}$ を点Aの位置ベクトルと考えます。
内分点の公式
点PがABを $m:n$ に内分するとき、位置ベクトルは
$$\vec{OP}=\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$$
係数は「近い点」ではなく「反対側の比」が掛かるので注意します。
2比を動かして内分点を見る
点PがABを $m:n$ に内分するとき、$AP:PB=m:n$ です。スライダーで比を変えて、Pの位置を確認しましょう。
3式を立ててから計算する
A$(1,2)$、B$(7,5)$ を $2:1$ に内分する点Pを求めます。
頻出ミス
- $AP:PB=m:n$ のとき、Aにm、Bにnを掛けてしまう。
- 中点なのに平均を取らず、片方の座標だけを見る。
- 位置ベクトルと普通のベクトルを区別せず、基準点Oを見失う。
4練習問題
練習 1位置ベクトル
点Aの位置ベクトルとして最も自然な表し方は？
ヒント
基準点OからAへ向かう矢印です。解説
位置ベクトルは基準点Oからその点へ向かうベクトルなので $\vec{OA}$ です。
練習 2中点
A$(2,3)$、B$(8,5)$ の中点のx座標は？
x座標：
ヒント
2と8の平均です。解説
中点は $\left(\frac{2+8}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(5,4)$ です。
練習 3内分点
A$(0,0)$、B$(6,3)$ を $1:2$ に内分する点Pのx座標は？
x座標：
ヒント
AB全体の3分の1だけAから進みます。解説
$AP:PB=1:2$ なのでPはAからBへ3分の1の位置。x座標は $0+(6-0)\times\frac13=2$ です。
練習 4重心
三角形の頂点が A$(0,0)$、B$(6,0)$、C$(0,3)$ のとき、重心のx座標は？
x座標：
ヒント
x座標3つの平均です。解説
重心は $\left(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+3}{3}\right)=(2,1)$ です。
練習 5仕事で使う文章題
倉庫の通路上で、A地点からB地点までの距離を $2:3$ に分ける中継点Pを置く。PはAから全体の何分の何だけ進んだ点？ 分数は「2/5」のように入力。
答え：
ヒント
全体は $2+3=5$ 等分です。解説
APは2、PBは3なので、AからPまでは全体の $\frac{2}{5}$ です。座標公式の係数とは分けて考えると混乱しにくくなります。