ΣΣ完全マスター 第2章 / 全5章

第2章　基本公式と視覚的証明

Σ計算の武器になる4つの公式。丸暗記ではなく「図で見える理由」ごと身につけよう。

社会でどう使う？

基本公式は、規則的に増えるものを一気に集計する道具です。座席を段ごとに増やす会場、積み上げた箱、1日ずつ増える作業量の合計など、「全部書き出すと長いけれど規則はある」場面を短く計算できます。

1覚えるべき4つの公式

① 定数の和
$$\sum_{k=1}^{n} c = cn$$
② 1乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$
③ 2乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
④ 3乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$

① は第1章で見たとおり「$c$ を $n$ 回足すだけ」。②〜④ を、これから図で確かめていきます。

✅ 覚え方のコツ
  • ③ は「② の分子に $(2n+1)$ が増えて、分母が 6 になる」
  • ④ は「② をまるごと2乗」— これは偶然ではなく、図で理由が見える！

2② $\sum k$ — ガウスの階段

$1+2+\cdots+n$ をブロックの階段で表し、同じ階段をもう1つ、逆さにして重ねると長方形になります。 スライダーで $n$ を変えて、「▶ 重ねる」を押してみよう。

青の階段が $1+2+\cdots+n$。オレンジの階段を逆さに重ねると…？
📘 図からわかること

階段2つ分（$2\times(1+2+\cdots+n)$ 個のブロック）が、縦 $n$ ・横 $n+1$ の長方形にぴったり収まる。だから

$$2\sum_{k=1}^{n}k = n(n+1) \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$$

これは少年ガウスが「1 から 100 の和」を一瞬で計算した方法（$100\times101\div2=5050$）と同じ発想です。

3③ $\sum k^2$ — 三角形を3枚重ねる

$1^2+2^2+3^2+4^2$ を「数の三角形」で考えます。$k$ 段目に数 $k$ を $k$ 個並べると、 三角形全体の合計が $1{\cdot}1 + 2{\cdot}2 + 3{\cdot}3 + 4{\cdot}4 = \sum k^2$ になります。

この三角形を 120° ずつ回転させた3枚を作って同じ位置のマスを足すと、なんと全マスが同じ数になります。

3つの三角形は、同じ三角形を回転させたもの（合計はどれも $\sum k^2$）
📘 図からわかること（$n=4$ の場合）

重ねた後の全マスは $9 = 2\cdot4+1$。マスの個数は $1+2+3+4=\dfrac{4\cdot5}{2}=10$ 個。よって

$$3\sum_{k=1}^{4}k^2 = (2\cdot4+1)\times\frac{4\cdot5}{2} = 90 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{4}k^2 = 30$$

一般の $n$ でも同じ仕組みで

$$3\sum_{k=1}^{n}k^2 = (2n+1)\cdot\frac{n(n+1)}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

4④ $\sum k^3$ — 正方形の中に隠れた3乗

1辺が $1+2+\cdots+n$ の正方形を、L字型（カギ型）に分割していくと、 $k$ 番目のL字の面積がちょうど $k^3$ になります。「▶ 分割を見る」で1枚ずつ確かめよう（$n=4$）。

1辺 $1+2+3+4=10$ の正方形。面積は $10^2 = (1+2+3+4)^2$
📘 図からわかること

正方形全体の面積（$=(1+2+\cdots+n)^2$）が、面積 $1^3, 2^3, \dots, n^3$ のL字にちょうど分割される。だから

$$\sum_{k=1}^{n}k^3 = (1+2+\cdots+n)^2 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$

「3乗の和 ＝ 1乗の和の2乗」という不思議な一致には、こんな図形的な理由があったのです。

5公式を使ってみる（例題）

例題：$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2$ を求めよ。

解：公式③に $n=10$ を代入して

$$\sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10\cdot11\cdot21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$

分子を全部掛ける前に、$\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}$ の段階で約分（$21\div3=7$、$10\div2=5$）すると計算がラク：$5\cdot11\cdot7=385$。

⚠️ よくあるミス
  • 公式②③④は下端が $k=1$ のときだけそのまま使える（下端が違う場合は第3章で扱う）
  • ③の $(2n+1)$ を $(2n-1)$ と書き間違える
  • ④の「2乗」を忘れて $\frac{n(n+1)}{2}$ のままにしてしまう

6練習問題

練習 11乗の和
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$ の値は？
答え：
💡 ヒント公式②：$\dfrac{n(n+1)}{2}$ に $n=10$ を代入。
📖 解説

$$\sum_{k=1}^{10}k = \frac{10\cdot11}{2} = 55$$

練習 22乗の和
$\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^2$ の値は？
答え：
💡 ヒント公式③：$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ に $n=6$ を代入。約分してから掛けるとラク。
📖 解説

$$\sum_{k=1}^{6}k^2 = \frac{6\cdot7\cdot13}{6} = 7\cdot13 = 91$$ 分母の 6 と分子の 6 がそのまま約分できる形。

練習 33乗の和の公式
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3$ に等しいものはどれ？
💡 ヒント正方形のL字分割の図を思い出そう。「3乗の和」は「何の2乗」だった？
📖 解説

$$\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 = \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{\!2}$$ 「3乗の和は、1乗の和の2乗」。$n=2$ で検算：$1+8=9=(1+2)^2$ ✓

練習 4定数の和
$\displaystyle\sum_{k=1}^{100} 5$ の値は？
答え：
💡 ヒント「5 を 100 回足す」という意味だった。
📖 解説

$$\sum_{k=1}^{100}5 = 5\times100 = 500$$ 中身に $k$ がなくても慌てない。$\sum_{k=1}^{n}c=cn$。

練習 52乗の和の公式
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$ の正しい公式はどれ？
💡 ヒント$n=2$ を代入して $1+4=5$ になるか検算してみよう。
📖 解説

正解は $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。$n=2$ で検算すると $\dfrac{2\cdot3\cdot5}{6}=5=1^2+2^2$ ✓
まぎらわしい選択肢は符号違い・添字違い。検算のクセをつけると公式ミスに強くなる。最後の $\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ は3乗の和（④）の展開形。