ΣΣ完全マスター 第4章 / 全5章

第4章　計算テクニック

公式が使えない形の和を攻略する、入試頻出の3大テクニック。

社会でどう使う？

この章の中心は「差分」と「累積」です。在庫の増減、口座残高、ローン返済、ログデータの変化量のように、となり合う値の差を追うと全体が見える場面があります。望遠鏡和や階差数列は、その構造を式で扱う練習です。

1テクニック① 部分分数分解 —「望遠鏡和」

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ のような「分数の和」は、基本公式では計算できません。 そこで、各項を引き算の形に分解します。

📘 部分分数分解
$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

（右辺を通分すれば $\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$ に戻るので成立）

分解した形で和を書き並べると、となり同士の項が次々と打ち消し合います。「▶ 打ち消す」で確かめよう。

✅ 望遠鏡和（telescoping sum）

中間の項がすべて消え、最初と最後だけが生き残る：

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

伸縮する望遠鏡のように和が縮むのでこの名前。$\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ のように分母の差で割るパターンもある（この場合は2つ飛ばしで消える）。

2テクニック② (等差)×(等比) 型 — ずらして引く

$S = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot4 + 4\cdot8$（係数が等差 $1,2,3,4$、後ろが等比 $1,2,4,8$）のような和は、 $S$ に公比を掛けて1つずらし、引き算するのが定石です。

これを一般の $n$ でやってみると：

例題：$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^{k-1}$ を求めよ。

お題
$S = 1 + 2\cdot2 + 3\cdot2^2 + \cdots + n\cdot2^{n-1}$
STEP 1
$2S = \phantom{1+{}} 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + \cdots + (n-1)\cdot2^{n-1} + n\cdot2^n$
両辺を公比 $2$ 倍すると、各項が1つ右へずれる
STEP 2
$S - 2S = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} - n\cdot2^n$
上下の同じ「$2^{k-1}$ の位置」同士を引くと、係数の差が全部 $1$ になり等比数列が現れる！
STEP 3
$-S = \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} - n\cdot2^n = 2^n - 1 - n\cdot2^n$
等比数列の和の公式 $\dfrac{r^n-1}{r-1}$ を適用
STEP 4
$S = (n-1)\cdot 2^n + 1$
両辺に $-1$ を掛けて整理。$n=1$ で検算：$(0)\cdot2+1=1$ ✓
⚠️ 注意
  • 掛けるのは等比部分の公比（この例では 2）
  • $S-rS$ を計算するとき、最後の項 $-n\cdot 2^n$ が引き算で余るのを忘れない
  • 残った等比数列の項数（この例では $n$ 個）を確認する

3テクニック③ 階差数列 — ジャンプの合計で進む

数列 $1,\,3,\,7,\,13,\,21,\dots$ のように規則が見えにくいときは、となり合う項の差（階差）を調べます。

📘 階差数列から一般項

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $b_k = a_{k+1}-a_k$ とすると、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \qquad (n \geqq 2)$$

「スタート地点 $a_1$ に、そこまでのジャンプ（階差）を全部足す」という意味。 $a_n$ に着くまでのジャンプは $n-1$ 回なので、上端は $n$ ではなく $n-1$。

例：$1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の階差は $2, 4, 6, 8, \dots$（$b_k = 2k$）。よって $n \geqq 2$ のとき

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 1$$

$n=1$ のときも $1^2-1+1 = 1 = a_1$ となり成立。最後に $n=1$ の確認を書くのが答案の作法です。

⚠️ 上端は $n-1$

$\sum_{k=1}^{n-1}$ の計算では、公式の $n$ に $n-1$ を代入する。 たとえば $\sum_{k=1}^{n-1}k = \dfrac{(n-1)n}{2}$。ここで $\dfrac{n(n+1)}{2}$ としてしまうのが超頻出ミス！

4どのテクニックを使う？ — 見分け方

✅ 形で見分ける
  • $\dfrac{1}{(\ )\times(\ )}$ の形 → 部分分数分解（引き算の形に割る）
  • $(k\text{ の1次式})\times(r^k\text{ の形})$ → $S-rS$ 法
  • 数列の規則が見えない → 階差を取ってみる
  • $k$ の多項式だけ → 第3章の「分けて・公式・くくる」

5練習問題

練習 1望遠鏡和
$\displaystyle\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{k(k+1)}$ の値は？（分数は「99/100」のように入力）
答え：
💡 ヒント$1-\dfrac{1}{n+1}$ の形になる。$n=99$。
📖 解説

$$\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$$ 中間の $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{99}$ がすべて打ち消し合う。

練習 2部分分数分解
$\dfrac{1}{k(k+2)}$ の正しい分解はどれ？
💡 ヒント$\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$ を通分すると分子は $(k+2)-k = 2$。この「2」を消すには？
📖 解説

$$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} = \frac{(k+2)-k}{k(k+2)} = \frac{2}{k(k+2)}$$ なので両辺を 2 で割って $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$。 一般に $\dfrac{1}{A\cdot B} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$（分母の差で割る）。

練習 3(等差)×(等比)
$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k\cdot 2^{k-1}$ の値は？
答え：
💡 ヒント本文の結果 $S=(n-1)2^n+1$ に $n=5$ を代入。または $1+4+12+32+80$ を直接計算。
📖 解説

$$S = (5-1)\cdot2^5 + 1 = 4\cdot32+1 = 129$$ 直接確認：$1+4+12+32+80 = 129$ ✓

練習 4階差数列
数列 $3,\,4,\,7,\,12,\,19,\,\dots$（階差が $1,3,5,7,\dots$）の第6項 $a_6$ は？
答え：
💡 ヒント$a_6 = a_1 + (\text{ジャンプ5回分}) = 3 + (1+3+5+7+9)$。
📖 解説

階差は奇数列 $b_k = 2k-1$。$$a_6 = a_1 + \sum_{k=1}^{5}(2k-1) = 3 + 25 = 28$$ 検算：$19$ の次の階差は $9$ なので $19+9=28$ ✓

練習 5テクニックの選択
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{3^k}$ を計算したい。まず使うべきテクニックは？
💡 ヒント$\dfrac{k}{3^k} = k \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{k}$。「(等差)×(等比)」の形！
📖 解説

係数 $k$ が等差、$\left(\frac13\right)^k$ が等比（公比 $\frac13$）なので $S-\frac13 S$ を計算する型。 「商の形だから部分分数」と早合点しない（部分分数分解は分母が積の形のとき）。 また $\sum\frac{k}{3^k} \ne \frac{\sum k}{\sum 3^k}$ にも注意。